• 62M40 Random fields; image analysis
• 62F12 Asymptotic properties of estimators
• 60G42 Martingales with discrete parameter

Résumé:

Nous nous intéressons à l'étude des estimateurs du maximum de la pseudo-vraisemblance conditionnelle de paramètres de champs de Gibbs markoviens.

Le premier chapitre est consacré à une présentation de champs de Gibbs et de Markov. Puis nous donnons quelques méthodes d'estimations des paramètres de ces champs, ainsi que quelques méthodes de reconstruction d'image à partir des observations données.

Dans le chapitre 2, nous présentons une revue d'une part sur les théorèmes de la limite centrale des champs aléatoires sur un réseau et d'autre part sur les propriétés asymptotiques des estimateurs de paramètres de champs de Gibbs markoviens.

Dans le chapitre 3, on étudie la consistance et la normalité asymptotique des estimateurs du maximum de la pseudo-vraisemblance conditionnelle de paramètres de champs de Gibbs markoviens et stationnaires. Deux cas sont considérés, celui où l'énergie dépend linéairement des paramètres, puis celui où la dépendance est non-linéaire. Pour obtenir la normalité asymptotique de ces estimateurs, nous adoptons deux nouvelles techniques d'approximation par des martingales pour les champs aléatoires.

Dans le dernier chapitre, nous mettons en uvre des simulations numériques qui ont pour but de vérifier les résultats théoriques des propriétés asymptotiques des estimateurs du maximum de la pseudo-vraisemblance conditionnelle, nous calculons aussi les variances asymptotiques approchées de ces estimateurs.

Abstract:

We study the maximum pseudo-likelihood estimations for parameters of Gibbs Markov random fields.

The first chapter is devoted to the presentation of Gibbs random fields, and we give some methods of estimations of the parameters of these fields, as well as, some methods of image reconstruction from the observed records.

In the second chapter, we present a review, on the one hand, on the central limit theorems of the random fields on a network and, on the other hand, on the asymptotic properties of the estimations of parameters of Markov random fields.

The consistency and the asymptotic normality of the maximum pseudo-likelihood estimations for Gibbs Markov random fields are studied in the third chapter. Two cases are considered here, one is that the energy depends linearly on the parameters, and the other is that the dependence is non-linear. To obtain the asymptotic normality of these estimations, we adopt two new techniques of martingale approximation for the random fields.

In the last chapter, we illustrate our results by numerical simulations in order to validate the theoretical results of the asymptotic properties of the maximum pseudo-likelihood estimations, we also calculate the approximate asymptotic variances of these estimations.