• 78A45 Diffraction, scattering, See also {34E20 for WKB methods}
• 49K20 Problems involving partial differential equations
• 49K40 Sensitivity of optimal solutions in the presence of perturbations

Résumé:

La présence de fortes hétérogénéités à l'intérieur d'un obstacle diélectrique ne permet pas la détermination de son indice de réfraction par des méthodes optiques. C'est pourquoi il est nécessaire de se placer dans le domaine de la diffraction. L'indice de réfraction est alors lié à des mesures du champ diffracté par l'équation de Helmholtz. Du point de vue mathématique, ce problème inverse est à la fois non-linéaire et mal posé, que les données soient de type champ proche ou champ lointain.

L'objet de cette thèse est de proposer une méthode de résolution approchée pour ce problème inverse, à partir de données du champ proche sur une surface entourant l'obstacle. Contrairement aux problèmes de contrôle dont le but est de minimiser un critère sans pour autant se soucier de l'unicité du minimum, on se préoccupe ici de l'identification de ce minimum, et l'unicité de la solution est de ce fait essentielle. L'indice est ainsi identifiable de manière unique dans L^{\infty }(\mathbb {R}^{3};\mathbb {C}) à partir de la mesure du champ proche pour toute direction incidente de S^{2}.

Développée dans un premier temps pour le cas de la dimension deux, la méthode doit rester applicable à la dimension trois sans que les temps de calcul ne deviennent pour autant prohibitifs. C'est pourquoi on choisit d'évaluer les sensibilités des mesures à des variations élémentaires de l'indice par une méthode d'approximation de l'EDP plutôt que par la méthode intégrale volumique (équation de Lippmann-Schwinger) habituellement utilisée dans ce type de problème. Le méthode choisie inverse des matrices creuses en lieu et place des matrices pleines de la méthode intégrale. L'approximation des conditions aux limites est effectuée de manière très précise grâce à l'introduction, autour du domaine de calcul, d'un milieu fictif absorbant PML de Bérenger.

L'algorithme d'inversion choisi est celui de Gauss-Newton, pour lequel on recherche une forme de stabilité en testant successivement deux régularisations de Tychonov (en norme L^{2} et en semi-norme H^{1}), puis une pénalisation par une régularisée de la semi-norme BV. Cette dernière s'avère, au vu des différents cas tests étudiés, la mieux adaptée pour résoudre ce problème.

Abstract:

Due to high heterogeneities that can exist inside a dieletric obstacle, generally optical methods cannot be used in order to retrieve the refractive index of a body. This implies to use scattering methods, where the refractive index is linked to measurements of the scattered field via the Helmholtz equation. From a mathematical point of view, this problem is both nonlinear and ill-posed, whether we consider near field or far field data.

The purpose of this thesis is to describe a numerical method to identify the refractive index from near field data on a surface surrounding the obstacle. Whereas control problems only require the minimization of a criteria with no necessary information on the uniqueness of this minimum, here we need to identify this minimum, and therefore the uniqueness of the solution is essential. We study the uniqueness of the solution in L^{\infty }(\mathbb {R}^{3};\mathbb {C}) from near field data for all incident directions in S^{2}.

Although developped for the two dimensional case, the numerical method was built in order to be fast enough to have applications in the 3D case. We choose to calculate the measurements sensitivities with respect to elementary variations of the index by using a variational formulation of the PDE rather than by the volumic integral method (the Lippmann-Schwinger equation) usually used to solve this kind of problem. The variational method requires the inversion of sparse matrices instead of full matrices in the integral method. The radiation condition is accurately approximated by a curvilinear coordinates PML formulation around the computation domain.

The inversion is performed through the Gauss-Newton algorithm, and the stability is assured by means of penalization with two different types of Tychonov regularization (L^{2} norm and H^{1} seminorm), and by a BV regularized seminorm. This last penalization appears to be the best fitted to solve our problem.